킬러 스도쿠 45 법칙 — 이니·아우티와 손으로 따라가는 예시

킬러 스도쿠는 시작할 때 주어지는 숫자가 거의 없습니다 — 아예 하나도 없이 점선 케이지와 작은 목표합만 놓인 격자로 시작하는 경우도 흔합니다. 그 첫 수를 가능하게 하는 것이 45 법칙입니다. 모든 행, 모든 열, 모든 3×3 박스의 합은 반드시 45입니다. 각각이 1부터 9까지를 한 번씩 담고, 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45이기 때문입니다. 케이지 합을 이 고정된 45와 견주기 시작하면, 메모 하나 적기 전에 퍼즐이 숫자를 내놓습니다.

왜 한 단위의 합은 언제나 45인가

일반 스도쿠의 규칙 — 각 행·열·박스에 1–9가 한 번씩 — 은 어떤 숫자가 들어가는지에 대한 규칙이지만, 조용히 그 합까지 고정합니다. 모든 숫자를 한 번씩 담은 단위(unit)의 합은 45 말고 다른 값이 될 수 없고, 이는 케이지 배치가 어떻든 모든 유효한 문제에서 성립합니다.

킬러 스도쿠는 그 위에 케이지를 얹습니다. 점선으로 묶인 영역마다 안에 든 숫자들의 합, 즉 좌상단에 적힌 목표합이 있고, 한 케이지 안에서 숫자는 겹칠 수 없습니다. 케이지 합은 문제가 주는 정보이고, 45는 스도쿠 기본 규칙에서 공짜로 따라옵니다. 이 글의 모든 기법은 이 둘을 맞대는 데서 나옵니다.

이니와 아우티 — 한 칸을 바로 확정하는 지름길

단위 하나를 고르고 — 박스가 보통 가장 쉽습니다 — 케이지 합을 더해 갑니다. 완전히 안에 들어 있는 케이지들, 그리고 딱 한 칸만 밖에 남기는 케이지 하나까지. 실전에서 계속 나오는 배치는 두 가지입니다.

• 아우티(outie). 케이지들이 단위 전체에 한 칸을 더해 덮는 경우입니다. 단위 자체가 정확히 45를 차지하므로, 남는 값이 밖으로 튀어나온 그 칸의 숫자입니다: 아우티 = 케이지 합 − 45.
• 이니(innie). 케이지들이 단위 안에만 들어 있으면서 한 칸을 비워 두는 경우입니다. 덮인 칸들과 비어 있는 한 칸이 합쳐 45가 되어야 하므로: 이니 = 45 − 케이지 합.

두 추론 모두 후보 목록이 아니라 확정된 숫자 하나를 놓습니다 — 경우를 나눠 볼 필요도 없습니다. 퍼즐 초반에 확정 숫자는 그만큼 값비싼 자산이고, 그래서 다른 무엇보다 먼저 모든 박스를 훑어 이니와 아우티를 찾아보는 것이 이득입니다.

처음부터 끝까지 따라가는 예시

이 글을 위해 만든 문제의 좌상단 모서리입니다. 박스 1에 케이지 세 개가 닿아 있습니다. 케이지 A는 맨 윗줄을 따라가다 박스 경계를 한 칸 넘어가고, 케이지 B와 C는 각각 박스의 한 줄을 채웁니다. (글자는 각 칸이 어느 케이지에 속하는지 표시한 것이고, 그림 중간의 빈틈은 박스 경계일 뿐 케이지 A가 끊긴 것이 아닙니다 — A는 이어진 하나의 케이지입니다.)

   박스 1    박스 밖

+---+---+---+ +---+ | A | A | A | | A | 케이지 A = 16 +---+---+---+ +---+ | B | B | B | 케이지 B = 19 +---+---+---+ | C | C | C | 케이지 C = 15 +---+---+---+

세 케이지를 더하면 16 + 19 + 15 = 50입니다. 이들이 함께 덮은 것은 정확히 45를 차지해야 하는 박스 1과, 케이지 A에서 튀어나온 한 칸입니다. 따라서 그 칸은 50 − 45 = 5이고, 다른 어떤 추론도 하기 전에 적어 넣을 수 있습니다.

완성된 모서리가 이를 확인해 줍니다:

+---+---+---+ +---+ | 2 | 1 | 8 | | 5 | +---+---+---+ +---+ | 9 | 7 | 3 | +---+---+---+ | 4 | 5 | 6 | +---+---+---+

박스 1의 아홉 숫자(2+1+8+9+7+3+4+5+6)는 마땅히 45가 되고, 초과분 5가 바로 아우티입니다.

같은 문제의 반대쪽 모서리는 이니 버전을 보여 줍니다. 우하단 박스에서, 합이 19인 4칸 케이지(D)와 합이 25인 또 다른 4칸 케이지(E)가 박스 안에만 들어 있으면서 아홉 칸 중 여덟 칸을 덮습니다:

+---+---+---+ | D | D | D | 케이지 D = 19 +---+---+---+ | E | E | D | 케이지 E = 25 +---+---+---+ | E | E | ? | +---+---+---+

45 − 19 − 25 = 1, 그래서 남은 모서리 칸은 1입니다 — 같은 산수를 반대 방향으로 겨눠 찾아낸 이니입니다. (완성하면 이 박스는 3 4 7 / 6 2 5 / 8 9 1로 읽힙니다. 케이지 D는 3+4+7+5 = 19, 케이지 E는 6+2+8+9 = 25, 박스 전체는 45입니다.)

법칙 늘려 쓰기 — 90, 135, 그리고 그 너머

법칙을 단위 하나에 묶어 둘 이유는 없습니다. 완전한 두 행의 합은 2 × 45 = 90, 완전한 세 박스는 135이고, 일반적으로 완전한 단위 N개로 조립한 영역의 합은 45 × N입니다 — 단위들이 서로 겹치지 않는다는 조건 아래에서요. 이것이 중요한 이유는 케이지 모양이 어정쩡하기 때문입니다. 박스 하나의 경계를 넘는 케이지가 박스 두세 개를 묶은 띠 안에는 온전히 들어가는 일이 흔합니다. 단위 하나에서 깔끔한 이니나 아우티가 나오지 않을 때는 케이지가 들어맞을 때까지 영역을 넓혀 보면, 같은 한 칸 산수가 더 큰 규모에서 다시 나타나는 경우가 많습니다.

쓸 만한 습관 하나. 몇 칸을 채울 때마다 새로 적은 숫자 근처의 박스들을 다시 훑는 것입니다. 케이지 합은 변하지 않지만 칸이 확정될수록 남은 합이 줄어들고, 이니와 아우티는 마무리 단계까지 계속 새로 생겨납니다.

실제 풀이에서 45 법칙이 놓이는 자리

산수를 정직하게 유지해 주는 주의사항이 두 가지 있습니다. 첫째, 완전한 케이지만 셉니다. 케이지가 영역 안과 밖에 걸쳐 있으면 그 케이지에 적힌 목표합을 그 영역 계산에 쓸 수 없습니다 — 케이지가 들어맞을 때까지 영역을 넓히든지, 아니면 그 케이지를 합에서 빼 두면 됩니다. 둘째, 이 추론이 주는 것은 한 칸의 값일 뿐이며 옆 칸을 추측해도 된다는 허가증이 아닙니다. 숫자만 적고 평소의 추론으로 돌아가면 됩니다.

여기서부터 45 법칙은 케이지 조합 사고로 바통을 넘깁니다 — 합이 3인 2칸 케이지는 1+2뿐이고, 합이 24인 3칸 케이지는 7+8+9뿐입니다 — 그리고 두 기법은 서로를 먹입니다. 이니나 아우티 하나가 확정될 때마다 케이지의 남은 합이 줄고, 남은 합이 줄면 조합이 좁아지고, 조합이 좁아지면 더 많은 칸이 풀리고, 그러면 다음 이니가 드러납니다. 빈 격자에서 완성까지 킬러 스도쿠를 밀고 가는 힘은 어떤 단일 기교보다 이 순환입니다.

법칙을 몸에 붙이는 가장 빠른 길은 한 번 써 보는 것입니다. 킬러 스도쿠 한 판 열고 다른 것을 건드리기 전에 박스 하나 주변의 케이지 합을 더해 무엇이 떨어지는지 보세요.